Contoh Terbaru 2021 Materi Matematika tentang peluang dan contohnya Kaidah pencacahan, Unsur peluang, Peluang kejadian

A.15 Contoh Soal Dan Pembahasan Materi Peluang Kejadian Matematika

Materi Peluang Matematika , Pengertian Dan Penjelasan Rumus Soal Peluang Terlengkap

   Tentunya kalian pernah melihat atau membaca data tentang bagaimana kondisi cuaca disuatu daerah? Apakah kondisinya cerah, hujan atau berawan dapat diperkirakan sebelumnya menggunakan teori peluang. Bagaimanakah cara menentukan peluang tersebut? Pada artikel kali ini kita akan mempelajari peluang yang kadang-kadang tanpa disaaadari telah kalian terapkan dalam kehidupan sehari hari. Hal-hal mendasar yang harus dipahami dalam mempelajari peluang, misalnya aturan perkalian, permutasi, kombinasi dan pemecahannya, serta menentukan sampel, peluang, kejadian dan menafsirkannya.

Berikut akan diuraikan penjelasan lebih lanjut tentang pengertian dan rumus soal peluang.

Kaidah pencacahan (couting rules)

1. Aturan perAnda

     Jika suatu keajdian pertama dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian kedua dapat terjadi dengan n2 cara, kejadian ketiga dapat terjadi dengan n3 cara, dan seterusnya. Banyaknya cara kejadian tersebut terjadi dapat dirumuskan sebagai berikut:

N = n1 x n2 x … x nx

Dengan
N = banyaknya cara kejadian
n1 = cara kejadian pertama
n2 = cara kejadian kedua
nx = cara kejadian ke-x

2. Factorial

Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari n sampai dengan 1. Faktorial dilambangkan dengan n! (dibaca “n faktorial”) dan didefinisikan sebagai berikut.

n! = n x (n-1) x (n-2) x …. X 3 x 2 x1 dengan 0! = 1

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang mungkin dari sejumlah unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya.

1. Permutasi dengan Unsur yang Berbeda

Banyaknya permutasi dari n unsur yang tersediadiambil r unsur dirumuskansebagai berikut.

Dengan
n = banyak unsur yang tersedia
r = banyak unsur yang diambil

2. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama

Banyaknya permutasi n unsur yang memuat a,b,dan c unsur yang sama dirumuskan sebagai berikut

Dengan
P = banyak permutasi
n = banyak unsur seuruhnya
a,b,c = unsur yang sama

3. Permutasi Siklis (Melingkar)

Permutasi siklis adalah banyaknya susunan melingkar dari n unsur yang berbeda. Permutasi siklis dirumuskan sebagai berikut.

P = (n – 1)!

Dengan
P = banyaknya permutasi siklis
N = banyaknya unsur

Kombinasi

Kombinasi r objek dari n objek adalah himpunan bagian r objek yang dapat diambil dari n objek yang berlainan dengan urutan penyusunan objek tidak diperhatikan. Kombinasi dilambangkan dengan _nC_r, Cⁿ_r, C(_n,_r).

1. Kombinasi dari Unsur yang Berbeda

Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan r unsur dirumuskan sebagai berikut.

Dengan
n = banyak unsur yang tersedia
r = banyak unsur yang diambil

Peluang Suatu Kejadian

1. Pengertian Percobaan, Kejadian, dan Ruang Sampel

    Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk memperoleh hasil tertentu. Kejadian sederhana adalah kejadian beranggotakan tepat satu ruang sampel. Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel.
Setiap kali melakukan percobaan akan diperoleh hasil kejadian. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Banyaknya anggota ruang sampel biasanya dilambangkan dengan n(S).

2.Peluang Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul maka peluang dari suatu kejadian A dirumuskan sebagai berikut.

Dengan :
P (A) = peluang kejadian A
n (A) = banyak anggota A
n (S) = banyak anggota ruang sampel S

3. Kisaran Nilai Peluang

Nilai peluang suatu kejadian adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1 dengan A merupakan kejadian pada percobaan tersebut.
Jika P(A) = 0 maka kejadian Atidak mungkin (mustahil) terjadi.
Jika P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi.

4. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan. Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut.

Dengan
Fh (A) = frekuensi harapan kejadian A
n = banyak percobaan
P (A) = peluang kejadian A

5. Komplemen suatu kejadian

A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel sedangkan Ac adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. Hubungan antara kejadian A dan kejadian bukan dirumuskan sebagai berikut.

Dengan
P(A) = peluang kejadian A
P (Ac) = peluang bukan kejadian A

6. Peluang Kejadian Majemuk

• Peluang dua kejadian tidak saling lepas
  Misalkan A dan B masing-masing kejadian dalam ruang sampel S. Gabungan kejadian Aatau B (dinotasikan Au B) adalah himpunan semuatitik sampel yang terdapat pada kejadian Aatau B atau keduanya. Jika A dan B adalah dua kejadian yang tidak saling lepas maka berlaku:
  
• Peluang Dua Kejadian Saling Lepas
  Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama atau An B = 0atauP(An B) = O.Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka berlaku:
  
• Dua Kejadian Saling Bebas
  Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A dan B tidak saling memengaryhi. Artinya, terjadi atau tidak terjadinya kejadian A tidak memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka berlaku:
  
• Dua Kejadian Tidak Saling Bebas (Bersyarat)
  Jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama-sama, tetapi terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B maka kejadian seperti ini dinamakan kejadian tidak saling bebas atau kejadian bersyarat . Jika A dan B adalah kejadian bersyarat maka berlaku:
  

Demikian Penjelasan lengkap yang diberikan tentang materi peluang matematika dan rumus soal, Semoga pembaca dapat memahami materi yang diberikan, dan ilmu yang dibagikan dapat bermanfaat bagi pembaca. Samapi jumpa di artikel lainnya …

Setelah kita bahas tentang peluang kejadian pada postingan sebelumnya, kali ini kita bahas tentang Contoh soal dan pembahasan materi peluang matematika. Untuk mengerjakan soal dibawah ini di sarankan kepada pembaca untuk memahami kembali materi peluang pada artikel : Materi Peluang Matematika , Pengertian Dan Rumus Soal terlengkap

Perhatikan dan simaklah soal soal tentang materi peluang keajdian dibawah ini:

Soal 1 -3 menggunakan rumus aturan perAnda

Nomor 1.

Dari 3 orang siswa akan dipilih untul menjadi ketua kelas, sekretaris dan benda hara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus kelas. Tentukan banyaknya cara pemilihan pengurus tersebut.

Penyelesaian:

Untuk posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang sehingga posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara. Untuk posisi sekretaris karena ketua kelas sudah terisi oleh satu orang maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas sehingga posisi sekretaris dapat dipilih dengan 2 cara, sedangkan untuk posisi bendahara karena posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu pilihan sehingga posisi bendahara dapat dipilih dengan 1 cara.

Jadi, banyaknya cara pemilihan ada 3 x 2 x 1 = 6 cara.

Nomor 2.

Dari kota A ke kota B dapat dilalui 4 jalur, sedangkan dari kota B ke kota C dapat dilalui 2 jalur. Berapa jalur dapat dilalui dari kota A ke kota C melewati kota B?

Penyelesaian:

N_AB = 4 jalur
N_BC = 2 jalur
N_AC = N_AB x N_AC
          = 4 x 2 = 8

Nomor 3.

Dari angka-angka 2,3,4,5,dan 6 akan dibuat bilangan ratusan dengan syarat tidak boleh ada angka yang diulang. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi.

Penyelesaian:

Ratusan	Puluhan	Satuan
5	4	3

Banyaknya bilangan = 5 x 4 x 3 = 60

Jadi, banyaknya bilangan ratusan yang terjadi ada 60 buah.

---

Soal n0 4 – 5 menggunakan rumus Factorial

Nomor 4.

Tentukan nilai dari 

Penyelesaian:

Nomor 5. 

Tentukan nilai n yang memenuhi 

Penyelesaian: 

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah = 4

---

Soal no 6 – 9 menggunakan rumus permutasi

Nomor 6.

Hitunglah nilai dari ₈P₅

Penyelesaian:

Nomor 7.

Tentukan nilai n apabila _(n-1)P₂=20

Penyelesaian:

Jadi, nilai n adalah 6

Nomor 8. 

Dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus RT yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan banyaknya cara pemilihan yang mungkin.

penyelesaian:

Jadi, banyaknya cara pemilihan adalah 60 cara.

Nomor 9.

Tentukan banyaknya susunan yang dapat dibuat dari kata “MATEMATIKA”

Penyelesaian:

n = 10 ; M = 2; A = 3 ; T = 2

Jadi, banyaknya susunan kata yang dapat dibuat ada 151.200 buah.

---

Soal no 10 menggunakan rumus permutasi siklis

Nomor 10.

Pada suatu rapat dihadiri oleh 6 orang yang duudk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan duduk yang dapat terjadi?

Penyelesaian:

P = (n-1)!
= (6-1)!
= 5!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 120

Jadi, banyaknya susunan duduk yang dapat terjadi ada 120 cara

---

Soal no 11 menggunakan rumus kombinasi

Nomor 11.

Tentukan nilai dari  C⁸₃

Penyelesaian:

---

Soal no 12- 15 menggunakan rmus peluang suatu kejadian

Nomor 12.

Tentukan ruang sample dari pelemparan dua buah dadu

Penyelesaian:

Jadi ruang sampelnya adalah

{(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}

Nomor 13.

Dua buah uang logam dilempar undi sebanyak 50 kali. Berapakan frekuensi harapan muncul satu angka dan satu gambar?

Penyelesain:

n = 50 kali
S = {(A,A) (A,G) (G,A) (G,G)} → n (S) = 4
A = kejadian muncul satu angka dan satu gambar
= {(A,G) (G,A)} -> n (A) = 2

Nomor 14.

Sebuah dadu dilempar undi sekali. Berapa peluang muncul:

• Mata dadu genap, dan
• Mata dadu bukan genap

Penyelesaian:

S = { 1,2,3,4,5,6,) → n(S) = 6

• Muncul mata dadu genap
  A = {2,4,6} → n (A) = 3
  
• Muncul mata dadu bukan genap
  P(A) + p (A^c)=1
  ½ + P(A^c)=1
  P(A^c)= ½

Nomor 15.

Sebuah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang muncul mata dadu genap atau prima.

Penyelesaian:

A = kejadian muntul mata dadu genap
= {2,4,6} → n(A) = 3
B = kejadian muncul mata dadu prima
= {2,3,5} → n(B) = 3

 Demikian contoh soal dan pembahasan tentang materi peluang yang bisa kami sajikan untuk para pembaca. Semoga artikel ini bermanfaat  dan dapat membantu pembaca dalam mengerjakan tugas sekolah. Sampai bertemu pada artikel selanjutnya.. “TETAP SEMANGAT!”

B.Kaidah Pencacahan

Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam Pemecahan Masalah

1. Aturan Perkalian

a. Aturan Pengisian Tempat

Jika persoalan pertama dapat diselesaikan dengan a cara yang berlainan dan persoalan kedua dapat diselesaikan dengan b cara yang berlainan, maka persoalan pertama dan kedua dapat diselesaikan dengan a x b cara.

b. Notasi Faktorial

Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:

n ! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n     atau

n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1

lambang atau notasi n ! dibaca sebagai n faktorial untuk n>2

Contoh:

Hitunglah nilai dari:

1. 6!

2. 3! x 2!

Penyelesaian:

1. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
2. 3! x 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1= 12

2. Permutasi

a. Notasi Permutasi

 Secara umum banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:

atau dapat ditulis:

Contoh:      Tentukan nilai dari 

Penyelesaian:

b. Permutasi jika ada unsur yang sama

Secara umum permutasi n unsur dengan k, l, dan m unsur sama dapat ditentukan dengan rumus:

Contoh:

1. Berapa banyak kata dapat disusun dari kata AGUSTUS?

2. Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 8?

Penyelesaian:

1. AGUSTUS → banyaknya huruf = 7, banyaknya huruf S = 2, dan banyaknya huruf U = 2

2. 4, 4, 4, 5, 5, 5, 8 → banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 = 3, dan banyaknya angka 5 = 3

c. Permutasi siklik

Permutasi siklik adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar, sehingga banyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis:

Contoh:        Pada rapat pengurus OSIS SMA XI dihadiri oleh 6 orang yang duduk melingkari sebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi?

Penyelesaian:

3. Kombinasi

a. Notasi Kombinasi

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan r unsur ditulis:

adalah  

Contoh:  Dalam pelatihan bulu tangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda putri yang dapat diperoleh?

Penyelesaian:

Karena banyaknya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka banyaknya cara ada:

b. Binomial Newton (Pengayaan)

Teorema Binomial Newton dapat dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:       Jabarkan binomial berikut: 

Penyelesaian:

C.PELUANG KEJADIAN
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

1. Peluang Gabungan Dua Kejadian

adversitemens

Jika diketahui A dan B merupakan dua kejadian yang berbeda sehingga peluang kejadian A ∪  B ditentukan menurut aturan :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

contoh :

1. Jika terdapat sebuah dadu yang akan dilambungkan sekali, jika dimisalkan A adalah kejadain munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Maka tentukanlah peluang munculnya bilangan prima atau bilangan ganjil!

Jawab :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil yaitu {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima yaitu {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6  – 2/6 = 4/6 = 2/3
Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan prima adalah 2/3

2.Jika kita mempunyai 1 set kartu bridge, selanjutnya akan kita ambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge tersebut. Tentukan peluang terambilnya kartu as atau kartu hati dari proses pengambilan kartu tersebut!

Jawab :

n(S) = 52 (banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge adalah 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
P(A) =4/52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
P(B) = 13/52
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan  Hati dalam1 set kartu bridge 1)
P(A∩B) = 1/52
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 =16/52
Sehingga peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati  adalah 16/52

2.  Peluang Kejadian Saling Lepas / Kejadian Saling Asing

Jika terdapat dua kejadian A dan B, kedua kejadian ini dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Hal ini berarti A∩B = 0  atau P(A∩B) = 0. Maka dalam  menghitung peluang kejadian saling asing ini kita dapat gunakan aturan :

karena P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
maka   P (A∪ B) = P(A) + P(B)

contoh :

Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali, misalnya  A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap?

Jawab :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil yaitu {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap yaitu {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah 1

3. Peluang Kejadian Saling Bebas

Jika terdapat dua kejadian A dan B, dua kejadian ini dikatakan saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B  begitu juga sebaliknya. Atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung terjadi atau tidaknya kejadian B, begitu juga sebaliknya. Hal ini seperti digambarkan pada peristiwa pelemparan dua buah dadu sekaligus. Misalkan A merupakan kejadian munculnya dadu pertama angka 5 dan B merupakan kejadian munculnya dadu kedua angka 3. Sehingga kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, yang dirumuskan sebagai berikut :

P(A∩B) = P(A) × P(B)

Perhatikan contoh berikut :

1. Diketahui terdapat dua buah dadu yang akan dilempar secara bersamaan, dari pelemparan tersebut tentukan peluang munculnya mata dadu 3 untuk dadu pertama dan mata dadu 5 untuk dadu kedua?

jawab :

Kejadian pada soal ini merupakan dua kejadian saling bebas, hal ini disebabkan karena munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misalkan  kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, sehingga:
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6  P(A) = 6/36 = 1/6
Misalkan  kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, sehingga:
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6  P(B) = 6/36 = 1/6

P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/6  × 1/6  = 1/36

Sehingga  peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
pada dadu kedua adalah  1/36

2. Terdapat dua buah kotak, Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Jika akan diambil sebuah bola secara acak pada masing-masing kotak tersebut. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!

Jawab :

Kotak A
n(S) = 8C1 = 8!/(1!(8-1)!) = 8!/7!  =8.7!/7!=  8
Dimisalkan kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, sehingga :
n(A) = 5C1 = 5!/(1!(5-1)!)= 5!/4! = 5,    P(A) = n(A)/n(S) = 5/8
Kotak B
n(S) = 7C1 = 7!/(1!(7-1)!)  = 7!/6!  =   7

Dimisalkan kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, sehingga :
n(B) = 2C1 = 2!/(1!(2-1)!) =2!/1!= 2,    P(B) = n(B)/n(S)= 2/7
Jadi P(A∩B) = P(A) × P(B) = 5/8  × 2/7 = 5/28
PELUANG KEJADIAN BERSYARAT

Jika diketahui dua buah kejadian A dan B, dua kejadian ini dikatakan kejadian bersyarat/kejadian yang saling bergantung  jika terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Sehingga untuk peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi dapat dihitung menggunakan rumus :

P(A/B) =    P(A∩B)/P(B) dimana  P(B) ≠ 0

sedangkan peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi dapat dihitung menggunakan rumus :

P(B/A) =    P(A∩B)/P(A) dimana P(A) ≠ 0

contoh :

Terdapat sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Jika akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:
Misalkan kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, sehingga :
P(A) = n(A)/n(S)= 5/8

Misalkan  kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, sehingga :
P(B/A) = n(B/A)/n(S) = 4/7
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) =  5/8  × 4/7 =5/14

                                                                                                                                  Penulis

                                                                                                                     FAUZIA RAMADHAN

Kunjungi terus di https://makalahserbaada-fauzia.blogspot.co.id